Quando estudei na PUC-Rio havia uma matéria chamada Modelos Probabilisticos ministrada pelo pessoal da Telecom, que era conhecida por suas provas criativas.
Numa destas provas havia uma questão cujo enunciado é o que vai abaixo e serve como nossa leitura de final de semanamatem:
“Suponha que você quebre um palito num ponto aleatório do comprimento dele, escolha o maior pedaço e quebre novamente de forma aleatória. Qual é a probabilidade de você formar um triângulo com os três pedaços?”
Antes de sair procurando alopradamente no Google, não havia o Google ainda em 1996 quando fazia esta matéria, note que este problema é ligeiramente distinto do “three stick triangle problem”, neste nosso você escolhe para a segunda quebra o maior pedaço o que é diferente de quebrar um pedaço de pau em 3 pedaços diretamente.
Há duas formas de resolver este problema, uma forma computacional, que não era o caso na época, e uma forma analítica. A forma analítica é interessante porém exige um conhecimento matemático mais aprofundado. Já a forma computacional está disponível para qualquer um que saiba programar como mostramos no script Python abaixo.
from random import random def isTriangle (a,b,c): lista = [a,b,c] lista.sort() if (lista[2] < (lista[1]+lista[0])): return True else: return False def breakRule(): p = random() if (p < 0.5): a = p p1 = random() b = (1-p) * p1 c = (1-p) - b else: a = (1.0 - p) p1 = random() b = p * p1 c = p - b return isTriangle (a,b,c) sim = 0 nao = 0 for i in xrange(100000): if breakRule(): sim += 1 else: nao += 1 print "Número de vezes que deu certo: %d"%sim print "Número de vezes que deu errado: %d"%nao print "Probabilidade: %f"%(float(sim))/(sim+nao) |
Agora a forma analítica de resolver.
Considerando a régua como tendo comprimento 1, vamos dividir o problema em duas partes que são simétricas. Na primeira parte a quebra ocorreu no ponto n (0 < n < 0.5) até 50% do comprimento da régua. Desta forma a segunda quebra não pode ocorrer, para respeitar a desiguldade triangular:
onde A é o comprimento do maior pedaço, nos trechos:
Como pode-se ver na figura abaixo:
Desta forma, ao quebrar uma vez a régua no ponto n < 0.5 a probabilidade de formar um triângulo é dada por:
Portanto a probabilidade de formar um triângulo é:
Resolvendo a integral temos:
Como falamos que eram dois problemas simétricos a probabilidade de formar um triângulo é:
Que é o valor obtido pela nossa simulação.
2 comentários em “Quebrando o pau, matematicamente”