O vídeo do Numberphile que me enganou, por pouco tempo

Antes de começar, um aviso. Este post é longo contém bastante matemática. Nada muito complexo, mas uma quantidade grande. Se você é sensível, não continue a ler. 🙂

Muitos devem conhecer o canal do Youtube chamado Numberphile que tem vídeos quase semanais sobre os mais diversos assuntos relacionados à Matemática. Se você ainda não conhece e gosta de matemática, recomendo que dê uma olhada. São vídeos interessantes e muito bem feitos. Aqui no blog já comentamos sobre ele algumas vezes.

Muitas vezes quem apresenta os vídeos é algum professor de matemática, mas muitas vezes também, quem o faz é algum professor de física. Este é o caso do vídeo desta semana. Foi apresentado por dois simpáticos professores do depto. de Física da Universidade de Nottingham, Ed Copeland and Tony Padilla.

O vídeo desta semana, e o vídeo relacionado com as cenas extras, renderam um caso curioso. No primeiro momento, ontem, logo depois de assistir aos dois vídeos, achei o assunto incrível. Até dei “joinha” nos dois vídeos. Mandei uma mensagem para o Pedro Paulo assim: “O segundo vídeo dessa semana do Numberphile está excelente.” e ele respondeu, “vou ver”. Mas não viu.

Fiquei pensando no assunto. Estava com uma pulga atrás da orelha (um monte de pulgas, pelo visto). Hoje insisti com o Pedro Paulo que visse o vídeo para poder discutir o assunto com mais alguém. Até que ele viu hoje. Depois de assistir ao vídeo, ele confirmou o que eu desconfiava. Tem angu nesse caroço (ou seria ao contrário?)…

Assista ao vídeo que eu continuo depois o assunto (infelizmente só tem em inglês sem legendas ainda, mas este canal costuma conseguir legendas em outros idiomas em pouco tempo). Depois do vídeo eu repito a explicação deles em português.

O que eles “provam” no vídeo é a seguinte expressão:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -\frac{1}{12}

Acuma? (diria o Didi Mocó) Quer dizer que se eu somar todos os números naturais eu vou chegar a um número negativo e fracionário? É isso mesmo? É, é isso mesmo. E o cara chega a mostrar esta fórmula num livro de física e diz que há aplicações práticas para este valor. Será???

Não satisfeito com a prova do primeiro vídeo fui assistir à sequência deste vídeo que é mais longa (21 minutos), mas usa um artifício diferente para provar a mesma coisa.

A explicação rápida, a do primeiro vídeo, começa com 3 expressões:

S₁ = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = ?
S₂ = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... = ?
S₃ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = ?

São três somas infinitas que não convergem e eles querem atribuir um valor para cada uma? Fiquei curioso…

A primeira, apesar de não ser uma unanimidade, ele pede para que acreditemos que é igual a \frac{1}{2}, que é uma das várias possíveis respostas para esta soma infinita, mas não há um consenso sobre o assunto. Como já havia visto algumas explicações para esta soma, disse ok para mim mesmo e segui em frente.

Para chegar ao valor da segunda soma ele fez um truque que foi multiplicar a sequência S₂ por 2, somando ela mesma, mas executando a soma de uma maneira peculiar:

S₂ = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ...

      1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ...
2S₂ =     +   +   +   +
          1 - 2 + 3 - 4 + 5 + ...

Que resulta na seguinte expressão:

2S₂ = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...

Ou seja,

2S₂ = S₁

Como já sabemos o valor de S₁, é 1/2, chegamos ao valor de S₂.

S₂ = 1/4

Muito bem, já temos valores para as duas primeiras somas infinitas. Agora falta a terceira, que é a soma que precisamos que seja igual a -1/12.

Veja o raciocínio abaixo:

Subtraia S₃ de S₂.

S₃ - S₂ =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...
          -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - ...

S₃ - S₂ =  0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + ...

S₃ - S₂ =  4 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...)

S₃ - S₂ =  4S₃

Aplicando o valor de S₂, conseguimos saber o valor de S₃.

S₃ - 1/4 = 4S₃ 

S₃ - 4S₃ = 1/4 

-3S₃ = 1/4

S₃ = -1/12

BOOM! Chegamos ao valor de -\frac{1}{12}

Ou seja, segundo esta “prova”, se você somar 1, 2, 3, 4, 5, … infinitamente, vai obter o valor de -\frac{1}{12}. Durma com um barulho desses!

No segundo vídeo, o professor deu outra explicação, usando a função zeta de Riemann e disse que Euler chegou a essa “prova” no século XVIII. (Carece de fontes, como diz a Wikipedia)

Fiquei com isso na cabeça desde ontem e hoje já estava convencido de que havia algum problema com essas explicações.

Lembrei daquela brincadeira da divisão por zero, que permitia que chegássemos a expressões absurdas como 2=1, mas vi que não era o mesmo caso. Para quem não lembra da brincadeira, ela é a seguinte:

1. Seja a e b iguais e diferentes de zero
a = b

2. Multiplique por a
a^2 = ab

3. Subtraia b² dos dois lados
a^2 - b^2 = ab - b^2

4. Fatore os dois lados
(a - b)(a + b) = b(a - b)

5. Divida por (a – b)
a + b = b

6. Observe que a = b
b + b = b

7. Combine os itens
2b = b

8. Divida por b
2 = 1

Obviamente há um erro nesta “prova”. No passo 5 a expressão é dividida por zero, já que a=b, o que leva a um resultado absurdo no final.

Mas este não é o caso deste problema.

Hoje olhando os comentários dos vídeos e a página do Facebook do Numberphile, coisa que eu deveria ter feito ontem, vi muita gente irritada com essa “prova”. Uma pessoa até invocou a ajuda do Dr. James Grime, matemático e um dos criadores do canal, para que ele se pronunciasse sobre este “absurdo” matemático. A resposta dele, resumindo bastante, foi a seguinte:

“Vamos dar um desconto, os caras são físicos!” 😀

Mas por que não é possível dizer que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12? Qual é o erro desta “prova”?

A resposta, segundo o Pedro Paulo me apontou, está num vídeo que o próprio James Grime postou, no vlog particular dele, e que eu já tinha assistido no ano passado, mas não me lembrava. Na época, ele respondeu a uma provocação lançada no canal MinutePhysics para os matemáticos que dizia que \infty = -1. A prova dos físicos do MinutePhysics era a seguinte:

Imagine a soma infinita abaixo:

S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Nesta série, cada elemento é igual ao anterior, multiplicado por 2 e eles diziam que ela era igual a infinito, o que é aceitável.

Então, eles dobraram a sequência e subtraíram dela mesma.

2S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ...

                2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ...
2S - S = - [1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ...]
-----------------------------------------------
     S = -1

Como S é igual a infinito, logo eles chegam à conclusão de que \infty = -1. Bazinga!

Você deve se lembrar da época do colégio de um negócio chamado Progressão Geométrica (P.G.), no qual cada termo é o resultado da multiplicação do termo anterior por um fator comum. Também havia nessas aulas a soma dos termos de uma P.G., como esta soma acima. Neste caso, estamos dobrando os termos a cada vez. Mas e se nós fizéssemos a metade a cada vez? Teríamos a seguinte soma:

S' = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Neste caso, cada termo vai ficando menor e menor, tendendo a zero. Se formos somando os termos, nosso valor vai chegando cada vez mais perto do número 2 (1, 1.5, 1.75, 1.875, 1.9375, …). Dizemos que 2 é o limite desta soma. E esta série é uma série convergente, já que quando tende a infinito, seu valor converge para um limite.

O exemplo do MinutePhysics não é uma série convergente, ela é claramente uma série divergente. E o termo divergente não se refere só aos casos onde a série vai a infinito. Refere-se também aos casos onde a série não converge para um valor, como é o caso das séries periódicas por exemplo: 1 – 1 + 1 – 1 + 1 + … que ficam oscilando em torno de um ponto (lembra algo?).

No entanto, é possível associar um valor a uma série divergente. Não é o limite dela, já que ela não converte, mas queremos um método que seja útil tanto para séries convergentes (indicando seu limite), quanto para séries divergentes.

Vejamos uma série geométrica geral, onde cada termo é multiplicado por um fator “r”.

S = a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ar⁵ + ...

Se usarmos o mesmo truque que eles usaram na provocação chegamos à seguinte expressão:

rS = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ar⁵ + ...

                ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ar⁵ + ...
rS - S = - [a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ar⁵ + ...]
-----------------------------------------------
rS - S = -a

S(r - 1) = -a

S(1 - r) = a

S = a / (1 - r)

Esta fórmula indica o limite da série, se ela for convergente. Para que ela seja convergente, cada termo tem que ser menor a cada vez, ou, em outras palavras, |r| tem que ser menor do que 1. No caso da nossa série convergente começando em 1 e com r = 1/2, o limite será 1/(1 – 1/2) = 2.

Se a série não for convergente, você ainda pode aplicar esta fórmula, mas ela não vai te devolver o limite, por que o limite, neste caso, não existe. Por exemplo, no caso da série com r = 2 (a série do MinutePhysics), a fórmula retorna o valor -1, como esperávamos.

Se pegarmos a série S₁ lá do início do post, veremos que ela é uma série começando com 1 e com r = -1. Neste caso a fórmula vai retornar S = 1/(1 – (-1)) = 1/2! Olha o 1/2 aí, gente! 🙂

E é aí que está o erro da “prova” lá de cima. Logo no primeiro passo, eles assumem que S₁ = 1/2, o que não é verdade, já que S₁ não é convergente. O valor 1/2 é a soma das médias parciais de S₁, não é o seu limite. Portanto, não é possível substituir S₁ por 1/2.

Mas aí vem o físico e pergunta: “Mas como você explica o fato de que o -1/12 pode ser aplicado em várias áreas da física?”.

Talvez ele sirva para alguma coisa na física, mas não se pode dizer que 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12, uma vez que esta série é divergente e não tem limite.

Este resultado parece que é aplicado principalmente a teoria das cordas, mas, apesar de não entender absolutamente nada de teoria de cordas, já li que ela tem sérias críticas de vários físicos incluindo dois prêmios nobel: Sheldon Lee Glashow e Philip Warren Anderson.

Bom fim de semana a todos!

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  • Pedro Paulo

    Parece que o video gerou uma guerra entre físicos que defendem a maluquice e matemáticos que falam que o vídeo é coisa de físicos: https://www.facebook.com/numberphile/posts/10151784660096213?stream_ref=10

  • Daniel Almeida

    Dois físicos importantes criticando estas macacadas feitas por físicos:

    Dirac:
    Most physicists are very satisfied with the situation. They say: ‘Quantum electrodynamics is a good theory and we do not have to worry about it any more.’ I must say that I am very dissatisfied with the situation, because this so-called ‘good theory’ does involve neglecting infinities which appear in its equations, neglecting them in an arbitrary way. This is just not sensible mathematics. Sensible mathematics involves neglecting a quantity when it is small – not neglecting it just because it is infinitely great and you do not want it!

    Feynman:
    The shell game that we play … is technically called ‘renormalization’. But no matter how clever the word, it is still what I would call a dippy process! Having to resort to such hocus-pocus has prevented us from proving that the theory of quantum electrodynamics is mathematically self-consistent. It’s surprising that the theory still hasn’t been proved self-consistent one way or the other by now; I suspect that renormalization is not mathematically legitimate.