Números primos e algoritmos – Parte III (final)

Hoje mostraremos algoritmos que são rápidos e determinísticos (ou seja, sempre indicam correto se o número é primo ou não), alguns destes foram desenvolvidos no ano de 1983, no entanto em 2002 foi mostrado pela primeira vez um algoritmo, chamado AKS, para encontrar números primos que reunia as seguintes características:

  • Geral: para qualquer tipo de número primo e não apenas para alguns subconjuntos de primos.
  • Tempo Polinomial: com relação ao número de dígitos.
  • Determinístico
  • Incondícional: Ou seja, foi provado que o algoritmo não depende de nenhuma conjectura.

O teorema sobre o qual o algoritmo AKS se sustenta é uma generalização do pequeno teorema de Fermat que mostramos na semana passada.

pow ((x-a),n) % pow(x,n)-a = n

Onde n é o número primo e a é um primo em comum com n.

Abaixo vai uma das possíveis implementações dele:

#include <iostream>
using namespace std;
#include <math.h>
 
#ifdef _M_IX86
 
#define umulrem(z, x, y, m)	\
__asm	mov		eax, x	\
__asm	mul		y	\
__asm	div		m	\
__asm	mov		z, edx
 
#define umuladdrem(z, x, y, a, m)	\
__asm	mov		eax, x	\
__asm	mul		y	\
__asm	add		eax, a	\
__asm	adc		edx, 0	\
__asm	div		m	\
__asm	mov		z, edx
 
#else
 
#ifdef _MSC_VER
typedef unsigned __int64	Tu64;
#else
typedef unsigned long long	Tu64;
#endif
 
#define umulrem(z, x, y, m)	\
	{	\
	z = (unsigned int)(x * (Tu64)y % m);	\
	}
 
#define umuladdrem(z, x, y, a, m)	\
	{	\
	z = (unsigned int)((x * (Tu64)y + a) % m);	\
	}
 
#endif
 
static bool IsPrime(unsigned int n)
{
	if (n < 2) return false;
	if (n < 4) return true;
	if (n % 2 == 0) return false;
 
	const unsigned int iMax = (int)sqrt(n) + 1;
	unsigned int i;
	for (i = 3; i <= iMax; i += 2)
		if (n % i == 0)
			return false;
 
	return true;
}
 
static unsigned int LargestPrimeFactor(unsigned int n)
{
	if (n < 2) return 1;
 
	unsigned int r = n, p;
	if (r % 2 == 0)
	{
		p = 2;
		do { r /= 2; } while (r % 2 == 0);
	}
	unsigned int i;
	for (i = 3; i <= r; i += 2)
	{
		if (r % i == 0)
		{
			p = i;
			do { r /= i; } while (r % i == 0);
		}
	}
	return p;
}
 
static unsigned int Powm(unsigned int n, unsigned int e, unsigned int m)
{
	unsigned int r = 1;
	unsigned int t = n % m;
	unsigned int i;
	for (i = e; i != 0; i /= 2)
	{
		if (i % 2 != 0)
		{
			umulrem(r, r, t, m);
		}
		umulrem(t, t, t, m);
	}
	return r;
}
 
static unsigned int Inv(unsigned int n, unsigned int m)
{
	unsigned int a = n, b = m;
	int u = 1, v = 0;
	do
	{
		const unsigned int q = a / b;
 
		const unsigned int t1 = a - q*b;
		a = b;
		b = t1;
 
		const int t2 = u - (int)q*v;
		u = v;
		v = t2;
	} while (b != 0);
	if (a != 1) u = 0;
	if (u < 0) u += m;
	return u;
}
 
class CPolyMod
{
protected:
	// (mod x^r - 1, n)
	const unsigned int m_r;
	const unsigned int m_n;
	unsigned int m_deg;
	unsigned int * mp_a;
 
private:
	CPolyMod():m_r(0), m_n(0) { mp_a = NULL; };
 
public:
	// default value is x
	CPolyMod(unsigned int r, unsigned int n)
		: m_r(r), m_n(n)
	{
		m_deg = 1;
		mp_a = new unsigned int [2];
		mp_a[0] = 0; mp_a[1] = 1;
	}
 
	CPolyMod(const CPolyMod & p)
		: m_r(p.m_r), m_n(p.m_n)
	{
		m_deg = p.m_deg;
		mp_a = new unsigned int [p.m_deg + 1];
		unsigned int i;
		for (i = 0; i <= p.m_deg; ++i)
			mp_a[i] = p.mp_a[i];
	}
 
	virtual ~CPolyMod()
	{
		if (mp_a != NULL)
			delete [] mp_a;
	}
 
private:
	void _polySquare()
	{
		const unsigned int deg = m_deg;
		const unsigned int n = m_n;
		const unsigned int * const p_a = mp_a;
 
		const unsigned int degr = deg + deg;
		unsigned int * const p_ar = new unsigned int [degr + 1];
		unsigned int k;
		for (k = 0; k <= degr; ++k)
			p_ar[k] = 0;
 
		unsigned int j;
		for (j = 1; j <= deg; ++j)
		{
			const unsigned int x = p_a[j];
			if (x != 0)
			{
				unsigned int i;
				for (i = 0; i < j; ++i)
				{
					const unsigned int y = 2 * p_a[i];
					unsigned int t = p_ar[j + i];
					umuladdrem(t, x, y, t, n);
					p_ar[j + i] = t;
				}
			}
		}
		unsigned int i;
		for (i = 0; i <= deg; ++i)
		{
			const unsigned int x = p_a[i];
			unsigned int t = p_ar[2 * i];
			umuladdrem(t, x, x, t, n);
			p_ar[2 * i] = t;
		}
 
		m_deg = degr;
		delete [] mp_a;
		mp_a = p_ar;
	}
 
	void _polyMul(const CPolyMod & p)
	{
		const unsigned int deg = m_deg;
		const unsigned int n = m_n;
		const unsigned int * const p_a = mp_a;
 
		const unsigned int degr = deg + p.m_deg;
		unsigned int * const p_ar = new unsigned int [degr + 1];
		unsigned int k;
		for (k = 0; k <= degr; ++k)
			p_ar[k] = 0;
 
		unsigned int j;
		for (j = 0; j <= p.m_deg; ++j)
		{
			const unsigned int x = p.mp_a[j];
			if (x != 0)
			{
				unsigned int i;
				for (i = 0; i <= deg; ++i)
				{
					const unsigned int y = p_a[i];
					unsigned int t = p_ar[j + i];
					umuladdrem(t, x, y, t, n);
					p_ar[j + i] = t;
				}
			}
		}
 
		m_deg = degr;
		delete [] mp_a;
		mp_a = p_ar;
	}
 
	void _Mod()
	{
		unsigned int deg = m_deg;
		unsigned int * const p_a = mp_a;
		while (deg >= m_r)
		{
			p_a[deg - m_r] += p_a[deg];
			if (p_a[deg - m_r] >= m_n) p_a[deg - m_r] -= m_n;
			--deg;
 
			while (p_a[deg] == 0) --deg;
		}
		m_deg = deg;
	}
 
	void _Norm()
	{
		const unsigned int deg = m_deg;
		const unsigned int n = m_n;
		unsigned int * const p_a = mp_a;
		if (p_a[deg] != 1)
		{
			const unsigned int y = Inv(p_a[deg], m_n);
			unsigned int i;
			for (i = 0; i <= deg; ++i)
			{
				unsigned int t = p_a[i];
				umulrem(t, t, y, n);
				p_a[i] = t;
			}
		}
	}
 
public:
	CPolyMod & operator = (const CPolyMod & p)
	{
		if (&p == this) return *this;
		m_deg = p.m_deg;
		delete [] mp_a;
		mp_a = new unsigned int [p.m_deg + 1];
		unsigned int i;
		for (i = 0; i <= p.m_deg; ++i)
			mp_a[i] = p.mp_a[i];
		return *this;
	}
 
	int operator != (const CPolyMod & p) const
	{
		if (m_deg != p.m_deg)
			return true;
		unsigned int i;
		for (i = 0; i <= m_deg; ++i)
			if (mp_a[i] != p.mp_a[i])
				return true;
		return false;
	}
 
	CPolyMod & operator += (unsigned int i)
	{
		const unsigned int t = i % m_n;
		mp_a[0] += t;
		if (mp_a[0] >= m_n) mp_a[0] -= m_n;
		return *this;
	}
 
	CPolyMod & operator -= (unsigned int i)
	{
		const unsigned int t = m_n - i % m_n;
		mp_a[0] += t;
		if (mp_a[0] >= m_n) mp_a[0] -= m_n;
		return *this;
	}
 
	CPolyMod Pow(unsigned int e) const
	{
		unsigned int er = 1;
		unsigned int j;
		for (j = e; j != 1; j /= 2)
		{
			er = 2 * er + (j % 2);
		}
 
		CPolyMod t(*this);
		unsigned int i;
		for (i = er; i != 1; i /= 2)
		{
			t._polySquare();
			t._Mod();
			if (i % 2 != 0)
			{
				t._polyMul(*this);
				t._Mod();
			}
		}
		t._Norm();
		return t;
	}
};

Com isto encerramos nossa série de introdução aos números primos. Se você quiser ler mais sobre o assunto eu recomendo este artigo avançado:
http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality_v6.pdf
e este artigo em termos mais leigos:
http://www.flonnet.com/fl1917/19171290.htm

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